Метод контурных токов Метод узловых потенциалов

Воздействие гармонической э.д.с, на колебательный контур

В начальный момент  к последовательному  контуру подключается гармоническая э.д.с. Дифференциальное уравнение для данной цепи, составленное на основании уравнения Кирхгофа, имеет вид:

, (1.35)

а его решение . Здесь  - ток свободных колебаний, а  - вынужденный ток.

Аналогичное уравнение записывается для напряжения на емкости

, (1.36)
Основные понятия трехфазной цепи Лабораторные работы по электротехнике

решение которого .Здесь  - напряжение на емкости, соответствующее свободным колебаниям в контуре. Выражение для этого напряжения можно записать, пользуясь полученным ранее выражением (l.23) при рассмотрении свободных колебаний в контуре. Запишем выражение для напряжения  в виде

.

Тогда для тока свободных колебаний  получим выражение

.

Для контуров с достаточной добротностью () можно считать ,  и поэтому

При воздействии гармонической э.д.с, установившийся ток в контуре имеет вид

,

где и . Установившееся напряжение на емкости принимает вид

,

Тогда общее решение уравнения (l.35)

.

Для напряжения на емкости в переходном режиме получаем выражение

.

Для определения констант и  воспользуемся начальными условиями задачи. Если до включения  э.д.с, в контуре не была запасена энергия, то при ,  и . Отсюда находим:

,

.

Заменяя здесь  на  и деля второе уравнение на , из получающихся уравнений находим  и :

  и

При этом для тока и напряжения получаем обратные решения:

  (1.37)

 (1.38)

В случае, когда частота э.д.с. совпадает с частотой контура, т.е.   имеем ,  и выражения для тока и напряжения упрощаются

,  (1.39)

. (1.40)

На рис.1.14 приведена осциллограмма напряжения  как сумма напряжения свободных колебаний  и напряжения вынужденных колебаний . По мере затухания свободных колебаний растет амплитуда результирующего колебания. Огибающая амплитуды напряжения  изменяется по экспоненциальному закону

.

Величина амплитуды установившегося колебания зависит от добротности контура. Процесс установления колебаний заключается в постепенном заряде емкости и накоплении энергии в ней. Так как частота э.д.с.  и собственная частота контура   равны, то при смене знака э.д.с. ток в контуре также меняет направление, что приводит к увеличению заряда на емкости. Напряжение на емкости растет до того момента времени, пока энергия потерь в активном сопротивлении , возрастая с ростом тока в контуре, не сравняется с энергией, поступающей в контур за счет источника э.д.с.

Процесс установления колебаний практически считается законченным, когда амплитуда напряжения на емкости (или ток в контуре) достигает 95% своего стационарного значения, т.е. можно записать

,

или время установления

.

На рис.1.15 показана огибающая амплитуд напряжения на емкости для различных значений добротности контура. С ростом добротности  увеличивается время установления , но и растет амплитуда установившихся колебаний.

Если частота э.д.с, не совпадает с собственной частотой контура , то, как показывает анализ выражения (1.37), закон нарастания колебаний более сложен (см.рис.1.16). Здесь огибающая тока в контуре (или напряжения на емкости) изменяется по колебательному закону. Вначале ток  растет до величины, превышающей его стационарное значение, а затем, осциллируя, уменьшается по амплитуде и при  его амплитуда приближается к стационарному значению , где   - модуль импеданса контура. Частота осцилляции огибающей амплитуды этого сложного колебания равна разности частот .

Причины возникновения и сущность переходных процессов. Переход из одного стационарного состояния в другое происходит не мгно-венно, а с течением времени, что обусловлено наличием в цепи накопителей энергии (индуктивностей катушек и ёмкостей конденсаторов). Магнитная энергия катушек и электрическая энергия конденсаторов скачком измениться не могут, т.к. для осуществления этого необходимы источники, имеющие бесконечно большую мощность
Электрические цепи трехфазного тока