Метод контурных токов Метод узловых потенциалов

Разряд конденсатора в цепи .

Пусть предварительно заряженный до напряжения  конденсатор емкостью  в исходный момент времени замыкается на последовательно соединенные активное сопротивление и катушку индуктивности  (рис.1.7). Рассматриваемая цепь содержит, в отличие от предыдущих примеров, два энергоемких параметра - емкость и индуктивность. Поэтому составленное на основании второго закона Кирхгофа уравнение приводится к дифференциальному уравнению второго порядка.

Действительно, имеем для  суммы напряжений на элементах цепи

,  (1.15)

или, так как

,

уравнение приводится к виду

. (1.16)

Дугогасительные решетки Здесь используются околоэлектродные падения напряжения Uэ (в электрических аппаратах постоянного тока) и околокатодная электрическая прочность (в электрических аппаратах переменного тока).

Аналогичное уравнение записывается и для тока в цепи

. (1.17)

Решением однородного уравнения (1.17) является

,

Где  - корни характеристического уравнения

,

т.е.

,

где

, , .

Тогда решение уравнения (1.17)

.  (1.18)

Постоянные интегрирования  и  находятся из начальных условий задачи. Так как в момент замыкания цепи конденсатор заряжен до напряжения , а в индуктивности энергия не запасена, то при , , . Поэтому из (l.l8) находим , т.е. , а из (1.15) имеем при   или . Находя из (1.18)  и учтя предыдущее равенство, получаем

.

Подставив значения констант  и  в выражение (1.18), находим ток

.  (1.19)

Аналогично получается решение уравнения (1.18) для напряжения на емкости

. (1.20)

В зависимости от того, будет ли  величиной мнимой или действительной, т.е. если  или  в цепи наблюдаются различные по характеру переходные процессы.

В случае  или иначе , величина  - действительная. Пользуясь выражением (1.19) имеем

.  (1.21)

Согласно выражению (l.21) на рис.1.8 построен график тока , а также приведен график напряжения на емкости . В рассматриваемом случае характер процесса в цепи носит название апериодического разряда конденсатора. Граничным случаем апериодического процесса является случай, когда . T.e. . Величина тока для этого случая находится, если раскрыть неопределенность, получающуюся в выражении (1.19). Закон изменения тока во времени здесь таков:

.

Как видно из рис.1.8, при апериодическом разряде емкости ток в цепи вначале равен нулю, что объясняется противодействием э.д.с, самоиндукции катушки. Затем по мере убывания этой э.д.с. ток по абсолютной величине растет. Однако в процессе разряда емкости напряжение  убывает, и ток с некоторого момента также начинает убывать.

В случае , т.е. , величина  - мнимая, а корни характеристического уравнения

,

где . Тогда по формулам (1.19) и (1.20) находим

 (1.22)

  (1.23)

где .

Для контура с высокой добротностью, т.е. если , то  и , a напряжение на емкости

.

Графики тока и напряжения для этого случая приведены на рис.1.9. Такой процесс называется колебательным разрядом конденсатора. В течение этого процесса через каждые четверть периода колебаний происходит обмен энергией, запасенной в конденсаторе и катушке индуктивности. При этом часть энергии теряется в активном сопротивлении, что является причиной убывания амплитуды колебаний напряжения и тока с ростом времени, т.е. колебания затухают. Коэффициент , носящий название коэффициента затухания, определяет скорость убывания амплитуды во времени. Частота

  (1.24)

называется частотой собственных колебаний (или свободных колебаний) контура. Как видно, она зависит не только от реактивных параметров контура, но и от активного сопротивления, в отличие от резонансной частоты контура , введенной при рассмотрении стационарных колебательных процессов в контуре.

Затухание колебаний иногда характеризуют логарифмическим декрементом затухания , являющимся натуральным логарифмом отношения амплитуд тока или напряжения, определяемых в моменты времени  и , т.е.

.  (1.25)

Время, за которое амплитуда колебаний убывает в  раз, .иногда принимают за постоянную времени  контура

.  (1.28)

Интересно обратить внимание на то, что при последовательном соединении сопротивления  коэффициент затухания  не зависит от емкости . Но можно рассмотреть случай контура, в котором коэффициент затухания зависит от емкости  и не зависит от индуктивности . Такой контур, где потери отнесены к емкости, изображен на рис. 1.10. Уравнение Кирхгофа для этой цепи приводится к дифференциальному уравнению, имеющему вид

,

или, так как , имеем:

.

Решение этого уравнения

,

где  - коэффициент затухания.

Причины возникновения и сущность переходных процессов. Переход из одного стационарного состояния в другое происходит не мгно-венно, а с течением времени, что обусловлено наличием в цепи накопителей энергии (индуктивностей катушек и ёмкостей конденсаторов). Магнитная энергия катушек и электрическая энергия конденсаторов скачком измениться не могут, т.к. для осуществления этого необходимы источники, имеющие бесконечно большую мощность
Электрические цепи трехфазного тока