Курсовая работа по ТОЭ

Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

Комплексные числа

Для расчёта электрических цепей переменного тока с применением комплексных чисел необходимо знать формы их выражения. Алгебраическая форма имеет вид:

А = а + jb (3.1)

где а – вещественная часть, b – мнимая часть, j =  – мнимая единица.

Комплексное число можно показать на комплексной плоскости как вектор, конец которого имеет координаты а и b (рисунок 3.1). По горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые.

Рисунок 3.1

 Длина отрезка ОМ в определённом масштабе определяет абсолютное значение или модуль комплексного числа:

A =

 а) б) в)

Рисунок 3.2

Формула для определения угла α зависит от квадранта, в котором находится вектор комплексного числа. Угол α откладывается в положительном направлении против часовой стрелки, а в отрицательном направле­нии - по часовой стрелке от вещественной положительной оси. Это можно показать на рис. 3.2 (а, б и в).

Поскольку при расчёте угла α учащиеся зачастую допускают ошибки, формулы для его определения можно свести в таблицу 3.1. в которой так­же указываются знаки вещественной и мнимой частей в зависимости от квад­ранта, в котором находится заданный комплекс.

Если в формулу (3.1) подставить выражения a = A * Cos a  и b = A * Sina , то получаем тригонометрическую форму выражения комплексного числа:

Таблица 3.1

№ квадрантов

Знаки вещественной и мнимой частей

Формулы для определения угла

a

b

I

+

+

arc tg b/a

II

+

180° + arc tg b/a

III

180° + arc tg b/a

IV

+

arc tg b/a

A = A * Cos α + jA * Sin α = A (Cos α + j Sin α).

В математике доказывается, что Cos α + j Sin α = ejα.

Тогда комплексное число можно выразить в показательной форме:

A = A * ejα.

Таким образом, комплексное число можно представить в виде:

A = a + jb = A (Cos α + j Sin α) = A * ejα. (3.2)

Комплексное число A = a – jb = A (Cos α – j Sin α) = A * ejα называется сопряжённым. Действия с комплексными числами выполняются так же, как действия с алгебраическими выражениями. Наиболее удобными для расчётов в комплексной форме являются микрокалькуляторы: SR-135 "CITIZEN"; SC-503 "CEDAR"; SC-105 "SHARP" и другие, подобные им по содержанию расширенной клавиатуры, имеющие специальный ре­жим работы с комплексными числами, включаемый клавишами <Shift> или <2nd> + <CPLX>.

Действия с комплексными числами на этих калькуляторах выполняются в алгебраической форме. Однако они позволяют переводить комплекс из ал­гебраической формы в показательную и наоборот.

Например, переведём комплекс А = 3 – j4 в показательную форму, для этого используем тест: <Shift>, <CPLX>, <3>, <а>, <4>, <+/->, <b>, <Shift>, <a> (получаем модуль А=5), <b> (получаем угол α = –53,13°), то есть A = 3 – j4 = 5 * e-j53,13.

Для обратного перевода из показательной формы в алгебраическую применяется тест: <5>, <a>, <53,13>, <+/->, <b>, <Shift>, <a>,– (получаем вещественную часть а = 3), <b>,– (получаем мнимую часть b =–4). При этом клавиша <DRG> должна быть в по­ложении <DEG>, которое индицируется на табло калькулятора.

Расчёты можно выполнять и на отечественных программируемых микрокалькуляторах типа МК-54, МК-56 и др.

 Программ для расчёта с помощью комплексных чисел много. Приводим одну из наиболее удобных.

Арифметические операции (сложение – код 0, умножение – код 1, деление –код 2) над парами комплексных чисел Z1 = a1 + jb1 и Z2 = а2 + jb2 выполняются в следующем порядке, ввод: a1, b1, a2, b2 – в регистр Х, код операции – в регистр Х, результат:

 Z = а + jb : a – Р4 = PX. b – Р5 = PY.

Вводится программа последовательным нажатием клавиш <F> <ПРГ> и да­лее набирается содержание программы по строчкам. После

ввода программы нужно нажать клавиши <F> <АВТ> <B/O>

Контрольный пример:

Вычислить Z = ((5 – j3) * (3 + j2)) / ((5 + j3) * (2 – j4)) + (0,5 + 1).  Вводим <5>, <С/П>, <->, <3>, <С/П>, <3>, <С/П>, <2>, <С/П> (на индикаторе высвечива­ется <0>), <1> (код умножения), <С/П>.

Содержание программы

Х-П 4

С/П

Х-П 5

С/П

Х-П 2

С/П

Х-П 3

0

С/П

F Х≠0

52

1

F Х≠0

30

П-Х 2

F X2

П-Х 3

F X2

+

Х-П 8

П-Х 2

П-Х 8

+

Х-П 2

П-Х 3

/–/

П-Х 8

+

Х-П 3

П-Х 3

П-Х 5

Х

Х-П 0

П-Х 4

П-Х 3

Х

Х-П 1

П-Х 2

П-Х 5

Х

П-Х 1

+

Х-П 5

П-Х 2

П-Х 4

Х

П-Х 0

Х-П 4

БП

03

П-Х 5

П-Х 3

+

Х-П 5

П-Х 4

П-Х 2

+

Х-П 4

БП

03

После получения результата вводим <5>, <С/П>, <3>, <С/П>, (на индикаторе высвечивается <0>). <2> (код деления), <С/П>. После получения результата вводим <2>, <С/П>, <–>, <4>, <С/П>, (на индикаторе выс­вечивается <0>), <2> (код деления), <С/П>. После получения результата вводим: <0,5>, <С/П>, <1>, <С/П>, (на индикаторе высвечивается <0>). <0> (код сложения), <С/П>:

Получаем: Z = PX + j PY = 1,1388235 + j1,4647059.

Каждое новое вычисление нужно начинать с нажатия клавиши <В/О>.

Основными законами электрических цепей, наряду с законом Ома, являются законы баланса токов в разветвлениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкнутых участках цепи (второй закон Кирхгофа). В соответствии с первым законом Кирхгофа, алгебраическая сумма токов в любом узле цепи равна нулю
Электрические цепи переменного синусоидального тока