Аналитическая геометрия Дифференциальные уравнения Графики функции Вычисление интегралов Кратные интегралы Линейная алгебра Вычисление пределов Ряды

Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову

Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) .

При ,

(0;0)- точка минимума,

(2;0)- точка минимума,

(1;1)- точка максимума.

Задача 2. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3)

При , ; не существует в точках  и .

(-1;2)- точка максимума.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

ОДЗ .

При , ;

не существует при .

Задача 4. При подготовке к экзамену студент за  дней изучает часть курса, а забывает  часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

k=1/2,

   не удовлетворяет условию задачи.

  

Точка  является точкой минимума.

Ответ: 4 дня.

Задача 5. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.



Т.к. то в точке функция имеет максимум.

Задача 6. Найти асимптоты и построить графики функций.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

 3)

а) ,

-вертикальная асимптота.

б)

.

Следовательно, - наклонная асимптота.

4)

не существует при

5) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При .

Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их график.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

 3)

а) ,

-вертикальная асимптота.

б)

.

Следовательно, - наклонная асимптота.

4)

  при  

не существует при

-точка максимума функции.

-точка минимума функции.

5)

не существует при

6) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью

Задача 8. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

 3)

а) ,

-вертикальная асимптота.

б)

.

Следовательно, - горизонтальная асимптота.

4)

  при  ,

не существует при

-точка минимума функции.

5)

не существует при

6) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью

Задача 9. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1)

2) Функция ни четная, ни нечетная.

 3)

а) вертикальных асимптот нет.

б)

.

Следовательно, - наклонная асимптота.

4)

  при  ,

не существует при

-точка минимума функции,

- точка максимума функции.

5)

  при  ,

не существует при

6) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При

Задача 10. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1)

2) Функция ни четная, ни нечетная.

 3)

а) вертикальных асимптот нет.

б) наклонных асимптот нет.

4) функция является периодической

5)

,тогда

 .

6)

 

  при  ,

Прифункция вогнута, т.к. .

Прифункция выпукла, т.к. .

Точки перегиба:

.

Приведены типовые расчёты из разделов: Пределы, Дифференцирование, Графики, Интегралы, Дифференциальные уравнения, Ряды, Векторный анализ, Аналитическая геометрия, Линейная алгебра. По указанным разделам освещены теоретические вопросы, теоретические упражнения, расчетные задания.
Векторный анализ