Аналитическая геометрия Дифференциальные уравнения Графики функции Вычисление интегралов Кратные интегралы Линейная алгебра Вычисление пределов Ряды

Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову

Задача 1. Написать разложение вектора по векторам

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

векторы и коллинеарны.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами и .

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах  и .

Задача 5. Компланарны ли векторы , и .

векторы , и не компланарны.

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках  и его высоту, опущенную из вершины  на грань .

 

Задача 7. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

 

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору .



Т.к. вектор искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

Задача 10. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .

 по условию

Отсюда,

Задача 11. Пусть -коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка принадлежит образу плоскости ?

При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость переходит в плоскость .

 

Таким образом, точка не принадлежит образу плоскости .

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая .

Зададим координате значение .

Итак, получается точка с координатами

Уравнение прямой

Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Подставим в уравнение плоскости

Таким образом, координаты искомой точки

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

- координаты точки пересечения.

Отсюда,

Следовательно, - искомая точка.

Приведены типовые расчёты из разделов: Пределы, Дифференцирование, Графики, Интегралы, Дифференциальные уравнения, Ряды, Векторный анализ, Аналитическая геометрия, Линейная алгебра. По указанным разделам освещены теоретические вопросы, теоретические упражнения, расчетные задания.
Векторный анализ