Начертательная геометрия

Пересечение сферы с прямой.

  Рис 138

 Алгоритм решения.

Заключаем прямую в проецирующую плоскость β.

Осуществляем замену плоскостей проекций: Х π 2 --> Х1 π 4; OX1┴ hoβ

 π 1  π 1

Сфера пересекается плоскостью β по окружности радиуса R. Строим эту окружность на П4. Точки пересечения КIVТIV окружности с прямой являются искомыми.

Находим проекции этих точек на π 2 и π 1. 

  7.4. Пересечение поверхностей

7.4.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

Способ заключается в проведении секущих плоскостей φ1 ,φ2… φп 

φ1  ∩ α = a1

φ2 ∩ β = b1

a ∩ b = k

Находим n точек, принадлежащих искомой линии пересечения.

Задача:

Рис 139

Точка 1 (1II) получается при пересечении очерков поверхностей (при проведении горизонтально проецирующей плоскости β)

Проводим фронтально проецирующую плоскость α1. Конус пересекается ею по окружности радиуса r1  , сфера по окружности радиуса R1. При пересечении этих окружностей на горизонтальной плоскости получаем точки 2≡3(2I и 3I; 2II и 3II)

Аналогично при проведении плоскости α2 получаем точки 4 и 5, плоскости α3 точки 6 и 7, α4 - точки 8 и 9.

7.4.2. Способ концентрических сфер.

Если центр сферы расположен на оси поверхности вращения и эта ось параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций линия пересечения сферы с заданной поверхностью проецируется прямой линией. Способ может быть применим при соблюдении трех условий:

пересекаются поверхности вращения;

оси этих поверхностей параллельны плоскостям проекций;

за центр сферы выбирается точка пересечения осей поверхностей.

Задача

Рис. 140

За центр сфер принимается точка СI≡SI≡OI.

Точки 1II и 2II получаются при пересечении очерков поверхностей (при проведении горизонтальной плоскости α). Аналогично точки 9II и 10II.

Точки 3I и 4I (11I и 12I) получаются при проведении фронтальной плоскости β. Один конус пересекается по образующим, другой по окружности радиуса r1.

Из точки С, как из центра, проводим несколько окружностей радиуса r и R. Максимальный радиус равен СII-10II, минимальный R (радиус окружности, касательной к образующей конуса).

7.4.3.  Способ эксцентрических сфер.

Способ используется для построений линий пересечения не только поверхностей вращения, но и поверхностей, имеющих семейство плоских сечений в виде окружностей.

Задача:

Рис. 141

Проводим плоскость α через ось конуса α э FE; α|| π 2 ; O х||hoα . α пересечет конус и тор по очерковым и образующим. В их пересечении определятся точки 1II и 2II.

Проводим плоскость β┴T2  ; β э 0. Этой плоскостью внешний очерк тора пересекается в точке BII, а ось его – в точке AII. Из точки АII проводим перпендикуляр к foβ и получаем точку CII его пересечения с осью конуса EIIFII. Из точки СII , как из центра, проводим сферу радиусом СIIBII. Конус пересекается ею по окружности радиуса r1, а в пересечении этой проецирующей окружности с foβ получим точки сечения 3II и 4II.

Аналогично получаем точки 5II≡6II и 7II≡8II.

Изображение служит для задания геометрической формы предмета на чертеже и выполняется по методу прямоугольного проецирования. При этом предмет располагается между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций. Лучи зрения, идущие от наблюдателя к плоскости проекций, составляют с ней прямые углы. Отсюда эти проекции и получили название прямоугольные.
Машиностроительное черчение