Примеры вычисления интегралов


Предел функции двух переменных. Непрерывность

 

δ–окрестностью точки называется внутренность круга радиуса δ с центром в этой точке.

Иначе говоря, это множество всех точек , для которых выполняется неравенство , то есть расстояние . (рис.16).

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области G плоскости Oxy и точка . Вычисление длины дуги кривой. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого числа найдется такая – окрестность точки , что для любой точки P из этой окрестности, кроме, может быть, самой точки , имеет место неравенство . Пример 8. (Второй замечательный предел) e = limx (1+1/x)x

Обозначают: или

Для функции трех переменных – окрестностью точки является множество всех внутренних точек шара радиуса с центром в точке , определение предела сохраняется.

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.

Функция называется непрерывной в точке , если

1) функция определена как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в предельной точке: .

Условия (2) и (3) можно заменить равносильным требованием: бесконечно малому расстоянию соответствует бесконечно малое приращение функции .

Справедлива теорема:

Если функции нескольких переменных и непрерывны в точке , то в той же точке непрерывны и их сумма , разность , произведение и частное (последнее–если ).

Точка называется точкой разрыва функции , если для нее не выполняется хотя бы одно из трех условий в определении непрерывности.

Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва). Задача. Вычислить определенные интегралы

Например, функция имеет единственную точку разрыва , а функция –множество точек разрыва, то есть линию разрыва x+y–1=0.

Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:

каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);

всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется ее границей.

Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называется неограниченной.

Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Имеет место теорема:

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области

ограничена: ;

принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M);

принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.

Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием высоты ; вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью , равна ). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью , сверху - поверхностью , с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области , а образующие параллельны оси . Двойной интеграл равен объёму этого тела
Метод интегрирования по частям примеры решения задач