Вносимое сопротивление трансформатора
Примеры вычисления интегралов


Функции нескольких переменных

Функция двух переменных, ее область определения и график

Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел , L–некоторое множество действительных чисел.

Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел соответствует единственное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной паре .

При этом x и y называют независимыми переменными, или аргументами, z–зависимой переменной, или функцией переменных х и у, множество М–областью определения функции, L– множеством значений, или областью изменения функции.

Обозначают:

Если паре соответствует число , то пишут , или . Число называют при этом частным значением функции при .

Так как каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости Оху и обратно, каждой точке соответствует единственная пара чисел , то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки и писать вместо .

В этом случае областью определения функции является некоторое множество точек плоскости Оху. В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Если значение принять за аппликату соответствующей точки пространства, то множество таких точек образуют, вообще говоря, некоторую поверхность, которую называют графиком функции (рис.15).

Если функция задана с помощью аналитического выражения, то областью ее определения считают множество всех таких точек плоскости Oxy, для которых это выражение имеет смысл и дает действительные значения функции.

Например, функция z=2x+3y–1 определена на всей плоскости Oxy, графиком ее является плоскость; функция определена при , то есть –внутри круга радиуса r=1 с центром в начале координат, график этой функции–полусфера радиуса R=1.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай большего числа переменных. Так, функцией трех переменных называется правило, по которому каждой тройке действительных чисел соответствует единственное действительное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной тройке .

Обозначают: , .

Областью определения функции трех переменных является некоторое множество точек в пространстве. Саму функцию трех переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно.

Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием высоты ; вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью , равна ). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью , сверху - поверхностью , с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области , а образующие параллельны оси . Двойной интеграл равен объёму этого тела
Метод интегрирования по частям примеры решения задач