Примеры вычисления интегралов

Метод интегрирования по частям.

Если и –функции, имеющие непрерывные производные, то , тогда ; проинтегрировав это равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получим формулу интегрирования по частям:

Иногда эту формулу приходится применять последовательно несколько раз.

Отметим три типа интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям. Предел монотонной функции. Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E  R Если для любых x1, x2  E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).

где –многочлен, В этих интегралах полагают .

где –многочлен. В этих интегралах за u принимают функцию, являющуюся множителем при .

где m, n–числа. Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Пример 1

Пример 2.

Пример 3. Формула Стокса. Ее векторная запись

Таким образом, получили: перенесем последнее слагаемое в левую часть:

Найти матрицу

Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием высоты ; вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью , равна ). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью , сверху - поверхностью , с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области , а образующие параллельны оси . Двойной интеграл равен объёму этого тела
Метод интегрирования по частям примеры решения задач