Примеры вычисления интегралов

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию , производная которой равнялась бы .

Функция называется первообрàзной для функции на данном промежутке, если для всех x из этого промежутка или, что то же самое,

Естественно, возникает вопрос: для всякой ли функции существует первообразная? Ответ на него для достаточно широкого класса функций дает следующая теорема.

Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.

Очевидно, первообразная для данной функции определяется не однозначно. Так, для функции первообразной является не только но и и , и вообще

Теорема. Если функция является первообразной для функции на отрезке то всякая другая первообразная для отличается от на постоянное слагаемое, то есть может быть представлена в виде где C–постоянная.

Доказательство. По определению первообразной тогда , то есть при любом C=const функция также является первообразной для . Покажем, что первообразных другого вида нет. Если –любая другая первообразная функции то тогда для любого а это значит, что то есть Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Из теоремы следует, что выражение где –некоторая первообразная функции а C–произвольная постоянная, охватывает совокупность всех первообразных функции .

Если –одна из первообразных функции то выражение где C–произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции обозначается Пример. Найти локальные экстремумы функции  в области

Таким образом,

называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x–переменной интегрирования, символ –знаком неопределенного интеграла.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых.

Некоторые сведения о многочленах

Разложение многочлена на множители

Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Корнем многочлена называется такое значение переменной x, которое обращает многочлен в нуль.

Теорема Безу. Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

Доказательство. Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени , а в остатке от деления число, то есть

(2)

Тогда если x=a–корень многочлена , то и, подставляя x=a, в обе части равенства (2), получим r=0.

Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (2) обращается в нуль, тогда и , то есть x=a–корень .

Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

(3)

Например, многочлен при x=1 обращается в нуль, тогда он делится на x–1. Разделим многочлен на x–1:

_

 

_

 

 

 

_

 

 

 

Таким образом, .

Теорема (доказывается в курсе алгебры). Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень.

Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Доказательство. Пусть . Он имеет по крайней мере один корень. Пусть это будет a 1 . Тогда на основании теоремы Безу , где –многочлен степени . Он тоже имеет по крайней мере один корень. Обозначим его . Тогда , где –многочлен степени . Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения , где –многочлен нулевой степени, то есть некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту A 0 при многочлена .

Подставляя в формулу (3) выражения для , получим

(4)

Замечание. Числа –корни многочлена , т.к. при подстановке этих чисел в формулу (4) получаем в правой части формулы нуль, это и означает, что .

Никакое значение , отличное от не может быть корнем многочлена , т.к. ни один из множителей в правой части (4) не обращается в нуль. Отсюда вытекает, что многочлен n–й степени не может иметь больше чем n различных корней.

Основные методы интегрирования

Метод разложения, или непосредственное интегрирование–основан на применении свойств 3, 4 неопределенного интеграла.

Пример 1.

Пример 2.

2.Метод замены переменной–основан на использовании формулы

(1)

где z–новая переменная, связанная с x соотношением , непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную. Справедливость этой формулы следует из того, что равны дифференциалы ее левой и правой частей (проверьте).

Пример.

=[пусть , тогда , ]=

= = .

На основании свойств дифференциала можно записать:

, где k, c–константы.

Покажем на примерах применение этого соотношения.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Переобозначив переменные, формулу (1) можно записать в виде

(2)

где новая переменная.

Заметим, что . Это преобразование называется подведением под знак дифференциала. В частности,

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием высоты ; вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью , равна ). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью , сверху - поверхностью , с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области , а образующие параллельны оси . Двойной интеграл равен объёму этого тела
Метод интегрирования по частям примеры решения задач