Примеры решения задач по математике
Примеры вычисления интегралов


Числовые ряды

Определение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Числовым рядом называется бесконечная сумма

Числа называются, соответственно, первым, вторым, n–м … членами ряда. называется также общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда как функция его номера n: .

Определение: Сумма n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда: .

Определение: Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда, а ряд при этом называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Курс лекций по математике Метод итераций Решение дифференциальных уравнений

В школьном курсе математики рассматриваются такие ряды, как натуральный ряд чисел и бесконечная геометрическая прогрессия: . Известно, что при сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , то есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является сходящимся числовым рядом.

Простейшие свойства числовых рядов Применение элементов линейной алгебры в экономике Использование алгебры матриц Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Теорема 1: Если ряд

(1)

сходится и имеет сумму S, то ряд

(2)

где λ–произвольное число, также сходится и имеет сумму λ·S

Доказательство: Пусть и –n–е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно.

Тогда и , следовательно, ряд (2) сходится и имеет сумму

Теорема 2: Если ряды

(1)

(3)

сходятся и имеют суммы S и соответственно, то ряды

(4)

называемые суммой и разностью соответственно рядов (1) и (3), также сходятся и имеют суммы соответственно.

Доказательство: Пусть , и – n–е частичные суммы рядов (1), (3) и (4) соответственно. Тогда

,

что доказывает теорему.

Теорема 3: Ряды сходятся или сходятся одновременно

(1)

(5)

Доказательство:

Пусть

Очевидно , где k–некоторое число, не зависящее от n. Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S, то есть . Тогда

,

это означает, что ряд (5) сходится, так как –я частичная сумма ряда (5).

Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , то есть . Тогда что означает сходимость ряда (1). Аналогично доказываются случаи рассходимости. Предоставляем сделать это самостоятельно.

Теорема 4: (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд

сходится, то .

Доказательство: Пусть данный ряд имеет сумму S.

,

Так как ряд сходится, то и , тогда , что и требовалось доказать.

Следствие: (Достаточный признак расходимости числового ряда.)

Если у числового ряда , то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то по теореме (4) .

Замечание: Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, у которых . В качестве примера рассмотрим ряд .

Очевидно . Рассмотрим . Так как то

Следовательно , то есть , что означает расходимость рассматриваемого ряда.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается
Метод интегрирования по частям примеры решения задач