Примеры вычисления интегралов


Дифференциальные уравнения первого порядка

Функциональное уравнение вида , связывающее между собой независимую переменную x, неизвестную функцию y, зависящую от этого x, и ее производные , называется дифференциальным уравнением.

Порядок старшей производной неизвестной функции определяет порядок уравнения. Так, уравнение является уравнением первого порядка, уравнение –уравнением второго порядка.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение вместе со своими производными, обращает его в тождество, называется решением этого уравнения.

Например, функция является решением уравнения .

Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение или , где y–неизвестная функция от x, а –заданная функция. Для того чтобы определить неизвестную функцию y, нужно проинтегрировать данную функцию . При этом получится множество функций, являющихся решениями дифференциального уравнения.

Решить, или проинтегрировать, дифференциальное уравнение–значит найти все его решения в данной области. Характеристическое уравнение

скачать на телефон порно фильмы

Ясно, что , где –произвольная постоянная, а под интегралом понимается одна из первообразных функций , является общим решением простейшего дифференциального уравнения , где –непрерывная функция.

Выбирая надлежащим образом постоянную , при условии непрерывности функции можно получить любое решение этого простейшего дифференциального уравнения.

Функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению первого порядка при любом значении произвольной постоянной C, то есть совокупность всех решений этого уравнения, называется его общим решением.

Решения, получаемые из общего при определенных значениях С, называются частными.

  • Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится. Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

Уравнение вида , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка можно, разрешив относительно производной, представить в виде или .

Общее решение такого уравнения имеет вид и геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, то есть совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C. Исходя из геометрического смысла производной, интегральные кривые обладают тем свойством, что в каждой их точке наклон касательной удовлетворяет условию .

Если задать точку , через которую должна проходить интегральная кривая, то тем самым из бесконечного семейства интегральных кривых выделяется некоторая определенная интегральная кривая, которая соответствует частному решению данного дифференциального уравнения.

Аналитически это требование сводится к начальному условию: при . Задать начальное условие для дифференциального уравнения первого порядка означает указать пару соответствующих друг другу значений независимой переменной и функции .

Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , носит название задачи Коши.

Геометрически задачу Коши можно сформулировать так: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через заданную точку .

Отметим, что дифференциальные уравнения, как правило, описывают определенный процесс, протекающий в природе. Если условия задачи полностью определяют процесс, то он должен протекать однозначно, то есть решение дифференциального уравнения, которое моделирует этот процесс, должно быть единственным, в то время, как общее решение не дает определенного ответа.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а так же, что оно будет единственным, выясняется теоремой существования.

Теорема существования и единственности решения. Если функция непрерывна в области, содержащей точку , то уравнение имеет решение такое, что .

Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение уравнения единственно.

Укажем основное свойство общего решения. Общее решение дифференциального уравнения обладает тем свойством, что из него по любому заданному начальному условию может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию.

Это означает, что, подставляя в общее решение значения и , мы получаем уравнение относительно , из которого может быть найдено значение , если, конечно, в точке выполнены условия теоремы существования и единственности решения. Тогда функция и будет искомым частным решением.

Рассмотрим теперь приемы решения некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Линейные уравнения первого порядка

Линейным уравнением первого порядка называют уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

(5)

Здесь и –заданные непрерывные функции от x или постоянные.

Будем искать решение уравнения (5) в виде произведения двух функций и Найдем и подставим y и в уравнение (5): или

(6)

Возьмем функцию такой, чтобы .

Тогда . Интегрируя, получим частное решение этого уравнения . (Мы нашли именно частное решение уравнения, так как нам достаточно иметь одно какое–нибудь произвольно выбранное отличное от нуля решение уравнения). Подставляя найденную функцию в уравнение (6), получим уравнение относительно неизвестной функции

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на :

. Положим и подставим эти выражения в последнее уравнение: .

Вынесем за скобки общий множитель v и получим

. Тогда или, сокращая на обе части последнего уравнения, имеем и . Интегрируя, получаем . И окончательно

Пример 6. Конденсатор емкостью c включается в цепь с напряжением E и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после включения.

Решение. В момент t заряд конденсатора q и сила тока . К этому же моменту t в цепи действует электродвижущая сила V, равная разности между напряжением цепи E и напряжением конденсатора , то есть .

По закону Ома сила тока , или, иначе, , откуда . Мы получили линейное относительно q уравнение процесса

(7)

Интегрируем это уравнение, полагая и подставляя q и в уравнение (7). Имеем . Тогда

. Затем получаем и . Разделим переменные v и t: . Тогда , где –произвольная постоянная. Далее находим .

В момент согласно условию задачи , так как заряд конденсатора отсутствовал. Тогда при и имеем и .

Таким образом, закон рассматриваемого процесса описывается равенством: .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается
Метод интегрирования по частям примеры решения задач