Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды

Курс лекций Предел функции в точке

Понятие комплексного числа

Комплексным числом z называется число вида , где , а x и y–вещественные числа. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: .

Первообразная функция. Неопределенный интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию , производная которой равнялась бы .

Метод интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.

Интегрирование тригонометрических функций

Определенный интеграл Задача о площади криволинейной трапеции

 Интегрирование по частям в определенном интеграле Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Функция двух переменных, ее область определения и график Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел , L–некоторое множество действительных чисел. Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел соответствует единственное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной паре .

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Предел функции двух переменных. Непрерывность

Частные производные Пусть функция определена в области G и точка . Дадим абсциссе приращение , тогда функция z получит приращение , которое называется частным приращением по x функции в точке . Частной производной по x функции в точке называется предел отношения частного приращения по x функции в точке к приращению при стремлении к нулю.

Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков Пусть дана функция Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения и . Тогда функция также получает приращение, , которое называется полным приращением функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно:

1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Дифференциальные уравнения первого порядка Функциональное уравнение вида , связывающее между собой независимую переменную x, неизвестную функцию y, зависящую от этого x, и ее производные , называется дифференциальным уравнением.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде .

Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Числовые ряды Определение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Числовым рядом называется бесконечная сумма

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Нахождение суммы ряда часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов.

Знакопеременные ряды Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Остаток ряда и его оценка

Свойства степенных рядов

Метод интегрирования по частям примеры решения задач