Системы линейных уравнений Производные высших порядков Производная по направлению Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика лекции и примеры решения задач

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений:

.

Проведем преобразование расширенной матрицы системы по методу Гаусса:

 .

Как видно, мы не получили трапецеидальной матрицы, однако последнюю матрицу можно преобразовать, поменяв местами третий и четвертый столбцы: Пример. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением  (x>0).

 .

Эта матрица уже является трапецеидальной. У соответствующей ей системы две свободных неизвестных–x3, x5 и три базисных – x1,x2,x4. Решение исходной системы представляется в следующем виде:

 .

Приведем пример не имеющей решения системы:

  .

Преобразуем матрицу системы по методу Гаусса:

  .

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению 0x1+0x2+0x3=1. Следовательно, исходная система несовместна.

Принцип равенства

Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Формализуем это определение: пусть

.

Тогда

 ,

где  и  некоторые натуральные числа.

Пример 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

◄ Прежде всего заметим, что все шесть матриц порождены одними и теми же числами: 0, ±1, 2. Далее, сравнивать между собой можно только матрицы  и , являющиеся квадратными матрицами порядка 2, так как матрицы  и  имеют соответственно размеры  и  и, следовательно, не могут совпадать ни друг с другом, ни с остальными рассматриваемыми здесь матрицами. Матрица   не совпадает ни с одной из матриц , так как в отличие от этих трёх матриц у   вторая строка целиком состоит из нулей. Далее , так как на пересечении первой строки и первого столбца в этих матрицах стоят разные элементы: в , а в . Наконец, равенства   показывают, что .

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.
Приведем примеры вычисления частных производных