Системы линейных уравнений Производные высших порядков Производная по направлению Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика лекции и примеры решения задач

Частные производные

Частной производной по x функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел

 ,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

 ;;.

Частная производная по x есть обычная производная от функции z=f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0):

 =.

В пространстве XYZ условие y=y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P пересекается с графиком функции z=f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции z=f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

Функции нескольких переменных

Если каждой паре  значений двух переменных  из некоторой области  соответствует одно определенное значение переменной , то говорят, что  – функция двух переменных , определенная в области . Символически функция двух переменных записывается в виде равенства , в котором  обозначает знак соответствия. Геометрически область определения  представляет собой некоторую часть плоскости  , ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать области. Для каждой пары    из области определения функции можно построить точку , где  . Множество всех таких точек называется графиком функции . Обычно это некоторая поверхность.

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Функция определена в точках плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям:  Точки плоскости, для которых   или , образуют границу области определения . Уравнение  задает параболу (поскольку точки параболы не принадлежат области , парабола изображена прерывистой линией). Уравнение    задает прямую. Парабола и прямая пересекаются в точках    и  . Область  можно задать системой неравенств:      

Величина  называется функцией переменных , если каждой совокупности  переменных  из некоторой области -мерного пространства соответствует определенное значение , что символически записывается в виде . На функции многих переменных переносятся такие понятия, как предел, непрерывность и т.п.

Функция двух переменных    называется непрерывной в точке , если . Например, функция   непрерывна в любой точке плоскости, за исключением начала координат. Здесь функция терпит бесконечный разрыв.

Пример. Найти работу силы  при перемещении по линии  от точки  к точке .

 Решение. .

.

Если путь интегрирования простая замкнутая кривая , то криволинейный интеграл обозначают  и вычисляют в направлении против часовой стрелки. Такой интеграл называют циркуляцией.


Приведем примеры вычисления частных производных