Системы линейных уравнений Производные высших порядков Производная по направлению Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика лекции и примеры решения задач

Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

Можно использовать другой подход. Пусть имеется функция z=f(x,y) c графиком, представляющим собой некоторую поверхность.

Рассмотрим сечение графика функции плоскостью z=C (эта плоскость параллельна плоскости XOY и пересекает ось Z в точке z=C). Спроектируем линию пересечения этой плоскости с поверхностью z=f(x,y) на плоскость XOY и получим так называемую линию уровня C функции z=f(x,y). Линия уровня представляет собой множество всех точек в плоскости XOY, для которых выполняется равенство f(x,y)=C. Придавая различные значения параметру C, можно получить множество линий уровня функции f(x,y). Если для каждой линии уровня указать соответствующее ей значение C, то получится топографическая карта поверхности, представляющей собой график функции.

В микроэкономике, в предположении что потребитель приобретает лишь два вида товаров: A и B, вводится понятие общей полезности TU, как функции двух аргументов: Q1 и Q2–количеств потребленных товаров A и B, соответственно:

 TU=TU(Q1,Q2). (1)

Очевидно, что все линии уровня функции TU(Q1,Q2) составляют семейство кривых безразличия (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 125).

Пусть в плоскости XOY заданы две точки: M0(x0,y0) и M1(x1,y1). Расстояние r между этими точками рассчитывается по формуле

 . (2)

Пусть d  ‑ некоторое положительное число. d-окрестностью Vd точки M0(x0,y0) называется множество всех точек, координаты x,y которых удовлетворяют неравенствам

 .

Очевидно, что d-окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса d  с выколотым центром.

Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если существует такое положительное число d , что из условия M(x,y)ÎVd (x0,y0) следует f(x,y)>f(x0,y0).

Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует такое положительное число d , что из условия M(x,y)ÎVd (x0,y0) следует: f(x,y)<f(x0,y0). Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Число A называется пределом функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0):

 ,

если для произвольного числа e>0 найдется такое число d>0, что для всех точек M(x,y) из d-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство

 |f(x,y)-A|<e.

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если

 .

Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

Найти значение :

 а) ;

 б) ;

 в) .

 Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.

 Пример. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если

.

 ◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу  к виду ,

.

 Матрица  обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

 получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

 слева,

.

 Матрица  обратима и . Поэтому

).

 Откуда следует что

. ►

Пример. Найти работу силы  при перемещении по линии  от точки  к точке .

 Решение. .

.

Если путь интегрирования простая замкнутая кривая , то криволинейный интеграл обозначают  и вычисляют в направлении против часовой стрелки. Такой интеграл называют циркуляцией.


Приведем примеры вычисления частных производных