Системы линейных уравнений Производные высших порядков Производная по направлению Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика лекции и примеры решения задач

Необходимые и достаточные условия экстремума функции Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x)>f(x0).

Выпуклость и вогнутость функции Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Рассмотрим пример из микроэкономики. В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x)=f(x).

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием. Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x)=f(x) соответствует формула òf(x)dx=F(x)+C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов

Производные высших порядков.

Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f¢(t), а ускорение равно f¢¢(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f¢¢¢(x).

Решение задач контрольных, курсовых заданий. Решение типового задания по теме ряды

Если определена n-я производная f(n)(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f(n+1)(x)=(f(n)(x))¢.

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Формула Лагранжа

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и дифференцируема на открытом промежутке (a,b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a,b), для которой справедливо равенство:

 f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a). (1)

Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа. Проведем наглядное обоснование этой формулы. Возьмем на графике функции f(x) точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)). Проведем через эти точки прямую AB. Проведем также прямую L, параллельную прямой AB, так, чтобы она не пересекала график функции f(x) на промежутке (a,b). Сохраняя параллельность L и AB, будем "надвигать" прямую L на график f(x) до тех пор, пока прямая L не коснется графика f(x) в некоторой точке c промежутка (a, b). Геометрическую точку касания обозначим буквой M, а через MN обозначим касательную к графику f(x), параллельную прямой AB. Очевидно, угловые коэффициенты прямых MN и AB (то есть тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс) равны. Угловой коэффициент прямой MN равен f¢(c), а угловой коэффициент прямой AB равен (f(b)f(b))/(b-a), и справедлива формула:

  .

Отсюда сразу получается формула (1). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a,b), в которых касательные к графику функции f(x) параллельны прямой MN. Производную функции f(x), вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (1) вместо множителя .

Сформулируем теорему о монотонности функции. Если f¢(x)>0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) возрастает. Если f¢(x)<0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) убывает.

Докажем эту теорему. Пусть t1 и t2— любые числа из промежутка (a;b), причем t2>t1. Тогда по теореме Лагранжа можно указать такое число c из промежутка (t1;t2), для которого справедливо равенство f(t2)–f(t1)=f¢(c)(t2–t1). Если f¢(x)>0 для всех x из промежутка (a;b), то f¢(c)>0, и из условия t2>t1 следует, что f(t2)–f(t1)>0. Таким образом, возрастание функции f(x) на промежутке (a;b) доказано. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

 Пример. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число задают на множестве  структуру линейного пространства над полем   или кратко структуру действительного линейного пространства. 

 Непустое множество , на котором заданы два внутренних закона композиции (записываемых как сложение и умножение) и один внешний закон композиции над полем  (записываемый как умножение на число), называется алгеброй над полем , если:

 1) сложение и умножение задают на  структуру кольца,

 2) сложение и умножение на число задают на  структуру линейного пространства над полем ,

 3) .

 Если умножение коммутативно, алгебра называется коммутативной, если умножение обладает единицей, алгебра называется алгеброй с единицей.

Криволинейный интеграл по координатам

(криволинейный интеграл второго рода)

Если  – график функции , , то криволинейный интеграл по кривой  при перемещении из точки   в точку  равен

  .

Если кривая  задана в пространстве параметрическими уравнениями  и , то

.

Кроме обычных свойств интеграла отметим, что при изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак на противоположный

.

Криволинейный интеграл II рода численно равен работе, которую совершает переменная сила  на криволинейном пути .


Приведем примеры вычисления частных производных