Системы линейных уравнений Производные высших порядков Производная по направлению Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика лекции и примеры решения задач

Предел и непрерывность функции Рассмотрим функцию y=x2 в точке x0=2. Значение функции в этой точке равно 4. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся кx0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y=A.

Приведем свойства предела функции. Введем определения так называемых “односторонних пределов”. Отметим два, так называемых, "замечательных предела"

Производная Ниже приводится таблица производных элементарных функций

Дифференциал функции Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC=0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x))=Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x), d(f(x)g(x))=g(x)df(x)+f(x)dg(x). Если при этом g(x)¹0, то  

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Поверхности второго порядка математика решение задач

Основные понятия

Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Число x называется аргументом функции, множество D—областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1<x2, выполняется условие f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться “значение функции в точке х1”. В нижеследующем опре­делении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “числох”.

Пусть e — некоторое положительное число. e-окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0‑e,x0+e), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x e‑окрестности точки  можно выразить с помощью двойного неравенства

0<êx–x0ç<e.

Число e называется радиусом окрестности.

Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

 (1.10)

 ◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

 

 

 . ►

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

.

Матрица  называется единичной матрицей порядка .

Если , тогда матрица  является её левой единицей, а матрица   – правой единицей, т.е.

.

Если матрица  квадратная и имеет порядок , тогда матрица  является её двусторонней (левой и правой) единицей, т.е.

.

Пример. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

.

Решение. Область интегрирования ограничена линиями , . Верхняя и нижняя границы области заданы двумя линиями, поэтому прямая  разбивает область  на две области:

Исходный интеграл разбивается на два интеграла:

.


Приведем примеры вычисления частных производных