Системы линейных уравнений Производные высших порядков Производная по направлению Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика лекции и примеры решения задач

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Очевидно равенство A + (–1)A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A. Квадратная матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули.

Определители Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Дадим определение определителя квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.)

Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному. Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка.

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений

Вычисление обратной матрицы

Пусть A=(aij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю. Тогда существует обратная матрица A–1, которая вычисляется по формуле

  .

Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы. Конические сечения математика решение задач

Напомним здесь, что Apq=(–1)p+qMpq, где Mpq называется минором и представляет собой определитель, получающийся из определителя detA вычеркиванием p-й строки и q-го столбца.

Рассмотрим пример:

 detA=20+6–24=2;

   .

Еще раз подчеркнем, что обратная матрица существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля!

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

 ◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

 ◄ Прежде всего заметим, что произведение  и  не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если  и  существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при  матрицы  и  разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если  и, следовательно,   и  одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

. ►

В то же время существуют матрицы  и  для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы

 

перестановочны, т.к.

.

 Более того, существуют квадратные матрицы порядка , которые перестановочны со всеми матрицами из .

Примером такой матрицы во множестве  является матрица

,

в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.

Пример. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

.

Решение. Область интегрирования ограничена линиями , . Верхняя и нижняя границы области заданы двумя линиями, поэтому прямая  разбивает область  на две области:

Исходный интеграл разбивается на два интеграла:

.


Приведем примеры вычисления частных производных