Системы линейных уравнений Производные высших порядков Производная по направлению Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика лекции и примеры решения задач

Таким образом, формула является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

Пусть имеются две квадратные матрицы одинаковой размерности:

 .

Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению

 AX = D.

Из правила умножения матриц следует, что матрица X должна быть квадратной матрицей той же размерности, что и матрицы A и D:

  .

Из правила умножения матриц и из определения равенства матриц следует, что последнее матричное уравнение распадается на три системы линейных уравнений:

 ;

 ; (2)

 .

Все три системы (2) имеют одинаковые матрицы коэффициентов, что дает возможность решать их одновременно, введя матрицу

  .

Здесь первые четыре столбца образуют расширенную матрицу первой системы, первые три столбца вместе с пятым столбцом образуют расширенную матрицу второй системы, а первые три столбца вместе с шестым– расширенную матрицу третьей системы.

Для любой матрицы  существует единственная матрица  такая, что

 (1.5)

 ◄ Пусть , тогда . Действительно,

.

Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству

 (1.6)

Тогда

.

В то же время,

. ►

Матрица  называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) – свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно

.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.
Приведем примеры вычисления частных производных