Колебания и волны Физика курс лекций

Электротехника примеры выполнения курсовой работы

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

 (147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

 

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

  (147.2)

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

  (147.3) Для равнопеременного движения зависимости радиус-вектора и вектора скорости от времени имеют вид: ; . Эти векторные уравнения, будучи спроецированными на оси координат ОX и ОY , имеют вид

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

  (147.4)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

  (147.5)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х0:

  (147.6)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных  в уравнение (147.6), получаем

  (147.7)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

где

  (147.8)

  (147.9)

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна

  (147.10)

где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

  (147.11)

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

 (147.12)

(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что  (см. (143.4)) и  (см. (146.11)):

  (147.13)

Продифференцировав Q=Qmcos(wt–a) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

 (147.14)

где

  (147.15)

Выражение (147.14) может быть записано в ввде

где j=ap/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)

  (147.16)

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j>0), если wL>1/(wС), и опережает напряжение (j<0), если wL<1/(wС).

Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграммы.

На систему из двух линз: собирающей с фокусным расстоянием 25 см и рассеивающей с фокусным расстоянием -10 см, главные оптические оси которых совпадают, со стороны собирающей линзы падает вдоль главной оптической оси параллельный пучок света. Пройдя систему линз, пучок остается параллельным. Определите расстояние между линзами. Ответ представьте в сантиметрах.
Квантовая природа излучения