Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Теорема Тейлора. Степенной ряд. Основные разложения

Пример. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 функцию

Решение. Воспользуемся стандартным разложением

и продифференцируем данное равенство дважды

,

.

Умножая полученный ряд на z2 получим требуемое разложение

.

Радиус сходимости полученного ряда равен 1.

Пример. Разложить в ряд Тейлора по степеням z – b функцию f( z) = 1/( z2+ a2), где a > 0.

Решение. Разложим заданную функцию на элементарные дроби

Для каждой из полученных дробей находим лорановские разложения

,

где c = b – ia. Аналогично, получаем разложение для второй дроби

,

где d = b + ia. Объединяя оба разложения в один ряд Лорана, окончательно получим

Теорема об интегрировании изображения

Если f(t) – оригинал, – оригинал, то .

Док-во:

.

,   

.

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням)

Разложить функцию image240 (283 bytes) в ряд Лорана по степеням z.

Найти особые точки функции. Найти разложение функции в ряд Лорана в окрестности каждой особой точки.

Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f( z) = z/( z2-2 z+5).


На главную