Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Теорема Тейлора. Степенной ряд. Основные разложения

Пример. Записать разложение по степеням z функции f ( z) = ch z.

Найдем производные функции:
f( n) ( z) = ch( n) z = ch z при n= 2k,
f( n) ( z) = ch( n) z = sh z при n= 2k-1.

В данном примере z0 = 0. По формуле (3) имеем:
Cn = 0 при n = 2k; Cn= 1/ n! при n = 2k-1;
image211 (336 bytes).

Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
image211 (336 bytes)( z принадлежит области действительных чисел).

Пример. Разложить по степеням (z-3) функцию f( z) = sin z.

Обозначим z-3 = t. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t) = sin3 cost+cos3 sin t.

Используя основные разложения, имеем:

image212 (932 bytes)

Так как t = z-3, то

image213 (993 bytes)

т.е. image214 (363 bytes)

где image215 (420 bytes) image216 (441 bytes)

Пример. Разложить по степеням z функцию image217 (355 bytes)

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:

image218 (659 bytes)
Раскладываем элементарные дроби по степеням z:

image219 (452 bytes)

image220 (907 bytes)

image221 (922 bytes)

Для исходной дроби получаем разложение:

image222 (960 bytes)

или, складывая ряды:

image223 (851 bytes)

Окончательный ответ:

image224 (887 bytes)

Теорема о дифференцировании изображения.

Если , то .

Теорема об интегрировании оригинала.

Если , то .

Док-во:

1) Докажем, что -оригинал.
а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.

  б) , t>0 –очевидно.

 в)

2) .

 .


На главную