Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Теорема Тейлора. Степенной ряд. Основные разложения

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:
image196 (529 bytes)(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z0 до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

image197 (569 bytes)(2)

где image198 (66 bytes)- произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z0 (в частности, image198 (66 bytes)- окружность image199 (152 bytes)), или по формуле:

image200 (384 bytes)(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

image201 (362 bytes) image202 (311 bytes)

Основные разложения.

image203 (253 bytes) ( z принадлежит области комплексных чисел);

image204 (458 bytes) ( z принадлежит области комплексных чисел);

image205 (411 bytes) ( z принадлежит области комплексных чисел);

image206 (377 bytes) ( z принадлежит области комплексных чисел);

image207 (337 bytes) ( z принадлежит области комплексных чисел);

image208 (529 bytes)

image209 (383 bytes)

Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f(t) – оригинал, -оригинал, F(p)-изображение f(t), ,

то .

Док-во:

.

Следствие. Если -оригиналы, то .

Док-во:

далее по индукции.


На главную