Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Элементарные функции комплексного переменного

1. Первоначальное значение Arg f( z) при z=2 принято равным 0. Точка z делает один оборот против часовой стрелки по окружности с центром в начале координат и возвращается в точку z=2. Проследить за непрерывным изменением аргумента функции при этом обходе контура и указать конечное значение Arg f(2) после указанного оборота, если

1)

2)

3)

4)

Решение 1). Обозначим контур обхода и. По формуле извлечение квадратного корня

  (1)

В начальной точке обхода y(0)=0 (сделать рисунок и убедиться в этом). По условию в этой начальной точке Arg f(2)=0, поэтому, как это следует из (1) k=0. Из сделанного рисунка можно отследить, как будет изменяться угол y( t) при полном обходе контура. Значение этого угла в конечной точке будет равно 2 p. Подставляя это значение в формулу (1) получим ответ p.

Решение 2). Используя те же обозначения, что и в предыдущем примере для z( t) имеем другую формулу для величины аргумента функции

.

Все остальные геометрические наблюдения остаются те же самые. По прежнему будет k=0. Ответ 2 p/3.

Теорема. - аналитическая в кольце с центром , то ее можно представить в виде ряда Ларана.

Док-во:

 

 

 

 

 Г

Выберем точку z внутри кольца и окружности  и Г (тоже внутри кольца), так чтобы точка z лежала между ними.

1.

2.

Ряд мажорируется рядом Он сходится равномерно и его можно почленно интегрировать.

Если контур С лежит между  и Г, то интеграл по С равен интегралу по , т.к. между  и С функция аналитическая.

В этом случае аргумент y( t) изменится от 0 до 4 p (необходимо сделать чертеж). Это связано с тем, что при полном обходе окружности радиуса 2 точкой z( t) точка z2( t) обойдет окружность радиуса 4 два раза. В результате этого обхода аргумент функции z2( t)-1 изменится от 0 до 4 p. В этом примере k=0. Ответ 4 p/2=2 p.

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z.

Задание кривых и областей на комплексной плоскости

Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости

Геометрическое изображнение ФКП. Задание функции w = f(z) как пары u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число


На главную