Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.
Нули аналитической функции.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если
, но
.
Пример. Пусть
. Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля:
![]()
,
![]()
![]()
. Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции
.
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде
, где
- аналитическая в точке а функция, и
.
Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е.
, и
. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид
, где
- аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция,
.
Достаточность. Пусть
, где
- аналитическая функция, и
. Находим производные этой функции по формуле Лейбница
:
;
; ………………………….;
;
, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, что если многочлен
разложен на множители
, то корни z1, z2, …, zl являются нулями функции
кратностей, соответственно, k1, k2, …, kl.
Ряды функций комплексного переменного
Опр.
Ряд
называется равномерно сходящимся в области Q, если:
![]()
,
,
Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.
Теорема. Если
![]()
непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L,
, то
.(ряд можно почленно интегрировать)
Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.
Признаки особых точек по значению
.
Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция
имеет в этой точке нуль n-го порядка.
Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 = 0.
Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.
Изолированная особая точка
функции
называется существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела
.
Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области
, границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L.
На главную |