Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.
Нули аналитической функции.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если
, но 
.
Пример. Пусть 
. Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём
порядок нуля: 
, 
. Первая отличная от нуля производная функции в точке
a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .
Теорема. Для того, чтобы аналитическая
в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно,
чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде 
, где 
- аналитическая в точке а функция, и
.
Доказательство. Необходимость.
Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. , и . Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид 
, где 
- аналитическая (как сумма степенного ряда
с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, 
.
Достаточность. Пусть , где - аналитическая функция, и. Находим производные этой функции по формуле
Лейбница 
: 
; 
; ………………………….; 
; 
, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы
следует, что если многочлен 
разложен на множители 
, то корни z1, z2, …, zl являются
нулями функции 
кратностей, соответственно,
k1, k2, …, kl.
Ряды функций комплексного переменного
Опр.
Ряд
называется равномерно сходящимся в области Q, если:
, 
, 
Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.
Теорема.
Если 
непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге
L, 
, то 
.(ряд можно почленно интегрировать)
Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.
Признаки
особых точек по значению 
.
Теорема о
связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка
тогда и только тогда, когда функция 
имеет в этой точке нуль n-го порядка.
Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 = 0.
Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.
Изолированная
особая точка 
функции 
называется существенно особой точкой,
если не существует конечного или бесконечного предела 
.
Основная теорема о вычетах.
Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области 
, границей которой является контур L, за исключением
конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L.