Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.

Нули аналитической функции.

 Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если

, но .

 Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля:  ,   . Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .

 Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде , где  - аналитическая в точке а функция, и.

 Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. , и . Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид , где  - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, .

 Достаточность. Пусть , где  - аналитическая функция, и. Находим производные этой функции по формуле Лейбница : ; ; ………………………….; ; , что и требовалось доказать.

 Из этой теоремы следует, что если многочлен  разложен на множители , то корни z1, z2, …, zl являются нулями функции  кратностей, соответственно, k1, k2, …, kl.

Ряды функций комплексного переменного

Опр.

Ряд  называется равномерно сходящимся в области Q, если:

  , ,

Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.

Теорема. Если   непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, , то .(ряд можно почленно интегрировать)

Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.

Признаки особых точек по значению .

Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция  имеет в этой точке нуль n-го порядка.

Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 = 0.

Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.

Изолированная особая точка функции называется существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела .

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L.

Бесконечно удалённая особая точка

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке.


На главную