Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Примеры разложения функций в ряд Лорана.

Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .

Здесь z0 = 2; функция теряет аналитичность в точках 

z1 = 0, z2 = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z0 (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:

1. | z – 2| < 2; 2. 2 < | z – 2| < 6; 3. | z – 2| > 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:

 1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора.  - таково разложение f(z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. , где | z – 2| < 2; ; это разложение справедливо, если | z – 2| < 6, т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области . Этот ряд содержит только правильную часть.

2. В кольце 2 < | z – 2| < 6 знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби ) по модулю , поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что , получим  =. Это - главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид .

3. В кольце  для первой дроби разложение такое же, как и в предыдущем случае:  или . Для второй дроби  . Ответ можно записать и в форме , и в форме . В этом разложении имеется только главная часть.

Утв2. Если , u и v – непрерывные, дуга L – кусочно гладкая, то .

Док-во:

По Утв1

;

;

.

Свойства интеграла

1.

2.

3.

4. , где -L – обход дуги L в обратную сторону.

5. Если  , то , где -длина L.

Разложить функцию  в ряд Лорана по степеням .

Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты. Определение нуля. Нуль порядка n. Простой нуль. Необходимое и достаточное условия нуля порядка n

Найти нули функции и определить их порядок: f (z) = 1+ch z.

Точка z0, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если image288 (119 bytes) такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в image289 (198 bytes) (в самой точке аналитичность f(z) нарушается). Найти все конечные особые точки функции image186 (384 bytes) .

Определить тип особой точки z = 0 для функции image197 (177 bytes)

Найти все особые точки функции ,определить их тип. Ответ обосновать.


На главную