Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Ряды Тейлора и Лорана.

Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:

;

;

;

;

;

Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при ). Для геометрических прогрессий имеют место формулы

6. .

7. ;

8. .

То, что эти ряды сходятся при | z| < 1, понятно. Ближайшие к центру разложения z0 = 0 точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) - это точки , в которых соответствующие функции неопределены.

9. .

В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к f(x) при , ведь f(x) определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется - на окружности  расположены точки , в которых f(z) не определена.

При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Рассмотрим, например, функцию f(z) = ln (z + 1). , k - целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой Ln 1 = 0 ( k = 0), т.е. главное значение логарифма f(z) = ln (z + 1). На этой ветви  , поэтому , и

10. .

Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) - это z = -1, поэтому ряд сходится при |z| < 1.

Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции . Это (при любом комплексном ) общая степенная функция, поэтому  (однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные: ; аналогично  ; и т.д.; , поэтому

11. .

Замечание. Функция заданная на контуре Г, однозначно определена в любой точке, лежащей внутри Г.

Теорема.(для многосвязной области) Если G - многосвязная область, ограниченная контурами Г и , С – граница G, С=, -аналитическая функция в G и на С, то .

Док-во:

1)Покроем границу окрестностями ее точек, выделим конечное подпокрытие, расширим область аналитичности. Разрежем G по  получим односвязную облость.


На главную