Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Ряды Тейлора и Лорана.

Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, . Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель  в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как

| z – z0| < | t – z0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:  , так как . Итак,

 .

Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана

 Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, , то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z0)n. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.

  Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.

Интегральная формула Коши

Теорема. Если -аналитическая функция в G, G – односвязная область,

Г- замкнутый контур, лежащий внутри G, z лежит внутри G, z лежит внутри Г, то .

Док-во:

Пусть -окружность .

1) -функция аналитическая между Г и .

2) умножим на и разделим на 2

.

3)

, таким образом разность между функциями меньше любого, сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.


На главную