Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Интегральная теорема Коши. Интеграл от ФКП.

Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками

z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку tk, найдём f(tk) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается .

Теорема. Если функция w = f(z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой.

Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл:    тогда  , и сумма  разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно,  и . Если L - кусочно-гладкая кривая, w = f(z) - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции u(x, y) и v(x, y)), то существуют пределы этих сумм при  - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .

  Разрежем плоскость W по лучу Ох. Верхний край первой плоскости соединим с нижним краем второй, верхний край второй соединим с нижним краем третей и т.д. до n. Верхний край n-ой плоскости склеим с нижним краем первой. Получим поверхность Римана для функции .

2.

 y + v

 

 - 

  +

 + 

 

  x u - 

 

 

Свойства интеграла от ФКП

Теорема Коши для многосвязной области

Первообразная аналитической функции. Если функция w = f ( z) аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой   зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой.

  Мы доказали, что интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции равен нулю. Сейчас мы испортим функцию в одной-единственной точке z0 введением множителя ; поразительно, какие глубокие выводы получил Коши для интегралов вида .


На главную