Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Двойной интеграл в полярных координатах. Нам придётся применять эту формулу, в основном, для перехода к полярным координатам. Роль переменных u и v будут играть r и . Как известно, . Вычислим якобиан: , следовательно, . Двойной интеграл в координатах r, вычисляется также как и в координатах x,y, переходом к двухкратному, при этом внешний обычно берут по . Если область D описывается как , то . Естественно, если  - кусочные функции, то внешний интеграл разбивается на несколько слагаемых. Однозначно дать рецепт, когда имеет смысл переходить к полярным координатам, нельзя, это дело опыта. Можно пробовать перейти к r,, если либо f(x,y), либо кривые, ограничивающие область интегрирования, либо и то, и другое вместе, зависят от комбинации x 2 + y 2 = r 2.

 Если  и/или область D ограничивается эллипсом , полезны обобщённые полярные координаты . Каков якобиан этого преобразования?

Доказательство теоремы. Вычислим, например, . Производная по направлению. Градиент

Пусть, для простоты,  - уравнение .

Тогда рассмотрим параметризацию проекции  кривой  на плоскость :

 (разумеется,  - непрерывно дифференцируемые функции).

Тогда . К плоской кривой  применим формулу Грина:

Где  - ограничиваемая кривой  область плоскости .

Вычислим .

Итак, .

Далее, , , и, значит,  . Поэтому .

Аналогично, ,  и   .

Формула Стокса доказана.


На главную