Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.
Аналогично определяется область, простая (правильная) в направлении оси Ox: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oх, пересекает границу D в двух точках.
Область, правильную (простую) в направлении обеих осей, будем называть правильной. Написать матрицу, транспонированную данным:
![]()
Ограниченную замкнутую область D, правильную в направлении оси Oy, можно описать неравенствами. Числа a и b существуют вследствие ограниченности области D, функция
образована нижними точками пересечения прямой x = x0 при
с границей области D, функция
- верхними точками пересечения этой прямой с границей области D.
Аналогичным образом область D, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси Oх, можно описать неравенствами
. Функция
образована левыми точками пересечения прямой y = y0 при
с границей области D, функция
- правыми точками пересечения этой прямой с границей области D.
Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих осей) существуют оба способа представления: и
, и
.
Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение
. Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от
до
получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:
.
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь областиD:
;
Следствие 1. Если поверхность
допускает представление как в виде
, так и в виде
и в виде
, то при условиях теоремы 1
![]()
, где выбор знака + или – перед соответствующим слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей осью.
Следствие 2. Если
представляет собой конечное объединение непересекающихся поверхностей,
, каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то
![]()
и для вычисления
используется следствие 1.
Двукратный (повторный) интеграл. Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.
На главную |