Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.
Аналогично определяется область, простая (правильная) в направлении оси Ox: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oх, пересекает границу D в двух точках.
Область, правильную (простую) в направлении обеих осей, будем называть правильной. Написать матрицу, транспонированную данным:
 |
Ограниченную замкнутую область D, правильную в направлении оси Oy, можно описать неравенствами
.
Числа a и b существуют вследствие ограниченности области D, функция 
образована нижними точками пересечения
прямой x = x0 при 
с границей области D, функция 
- верхними точками пересечения этой прямой
с границей области D.
Аналогичным
образом область D, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси Oх,
можно описать неравенствами 
. Функция 
образована левыми точками пересечения прямой
y = y0 при 
с границей области
D, функция 
- правыми точками пересечения этой прямой с границей
области D.
Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих
осей) существуют оба способа представления: и , и .
Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область,
простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение 
. Эта конструкция определяется через два обычных определённых
интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при
этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от
до получается функция, зависящая только
от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно
записывать этот объект без внутренних скобок:
.
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих
свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь областиD:
;
Следствие 1. Если поверхность
допускает представление как в виде 
, так и в виде 
и в виде 
, то при условиях теоремы 1 
, где выбор знака + или – перед соответствующим
слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали
к выбранной стороне с соответствующей осью.
Следствие 2. Если представляет собой конечное объединение непересекающихся
поверхностей, 
, каждая из которых удовлетворяет условиям следствия
1, то 
и для вычисления 
используется следствие 1.
Двукратный (повторный) интеграл. Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.