Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений.

Пусть тело  расположено в пространстве между плоскостями  и , и для  известна площадь его поперечного сечения . Требуется определить объём этого тела.

 Рассечём это тело плоскостями   на  слоёв (), на каждом из отрезков  возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями  и  приближённо равен объёму  цилиндрика с площадью основания  и высотой : . Сумма объёмов  - объём ступенчатой фигуры - при  стремится к искомому объёму , поэтому .

 Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём  получается в результате вращения кривой , , вокруг оси , то, очевидно, , поэтому .

 Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса  вокруг оси .

 Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении  от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра , равное , крайней правой точке соответствует значение . Формула  для кривой, заданной параметрически, примет вид , поэтому .

Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой  и двумя полярными радиусами  и , вокруг полярной оси находится по формуле . Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности  вокруг полярной оси.

Решение:

.

  Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры  вокруг оси , рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса , толщины , высоты . Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности  на толщину и высоты ; суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

Обычно удобно задавать поверхности параметрическими уравнениями  (4), где  ( - некоторая плоская область).

При этом мы считаем, что уравнения (4) задают взаимно-однозначное соответствие между точками поверхности и точками .

Кроме того, мы считаем, что функции  непрерывны в  (при выполнении этих условий мы будем говорить:  - непрерывно дифференцируемые функции от ) и что в любой точке из  ранг матрицы  равен 2. Это означает, что в любой точке  хотя бы один из миноров этой матрицы не равен 0. Пусть, например, . Тогда по теореме о системе неявных функций (см. 2-й семестр) в некоторой окрестности уравнения  можно решить и получить выражение  через , т.е. . Тогда третье уравнение в окрестности рассматриваемой точки даст , т.е. мы получаем явное уравнение вида (1).

(Если , то имеем, по аналогии, , а если , то ).

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси   дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Двойной интеграл. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Геометрический смысл двойного интеграла

Аддитивность

Теоремы об оценке интеграла


На главную