Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Вычисление длин кривых.

Кривая задана параметрически . Заменим в  переменную  на переменную . Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой .

 Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.

  Решение: кривая задаётся уравнениями

.

Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол   как параметр, получим , поэтому

.

 Пример: найти длину кардиоиды .

Решение: , поэтому . Ответ явно бессмысленен. Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня из . Правильное решение:

Однако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви и удвоить её:

Пусть  - замкнутый контур, лежащий на поверхности и не пересекающей ее край. Выберем в произвольной точке этого контура одно из двух направлений нормали. Пусть при обходе этого контура нормаль меняется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернемся в исходным направлением нормали.

Описанное выше свойство поверхности (1) будем считать определением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только для поверхностей вида (1)).

Бывают поверхности, не являющиеся двусторонними. Простейший пример – лист Мебиуса. Он получается так: рассмотрим прямоугольник  и линюю , соединяющую середины его сторон.

Склеим точку  с точкой , .

Если обходить контур , то при возвращении в исходную точку направление нормали изменится на противоположное. Это доказывает одностороннесть листа Мебиуса.

В дальнейшем мы рассматриваем только двусторонние поверхности.


На главную