Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Вычисление длин кривых.

 Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая . Разобьём эту кривую точками  на  частей и впишем в кривую ломаную , соединяющую эти точки. Длина  этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения:

. Устремим теперь количество  точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена  стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных , не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой  .

Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая  - график функции , имеющей непрерывную производную , . Тогда точка  имеет координаты , звено  имеет длину . Функция  на отрезке  удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка  такая, что . С учётом этого длина звена  равна , длина всей ломаной - . Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением , , определяется формулой .

 Пример: Найти длину отрезка параболы  от точки  до точки .

 Решение: , поэтому

.

Пусть  - точка этой поверхности, т.е. .

Уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке  имеет вид  (2).

Напомним, что в общем уравнении плоскости  числа  представляют собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Согласно (2),  - координаты некоторого нормального вектора к поверхности в точке . Этот вектор, вообще говоря, не единичный. Умножая его на один из нормирующих множителей  мы получим 2 единичных вектора   (3) и .

Известно, что координаты единичного вектора (3) – это косинусы углов, составляемых этим вектором с осями  соответственно, т.е. . Т.к. , то . Кроме того, заметим, что .

Отметим, что , поэтому верхней стороне соответствует вектор .


На главную