Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию  (см. 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции) задана в параметрическом виде  ; то переход в интеграле  к переменной  приводит к формуле .

Пример: найти площадь, ограниченную астроидой  ().

Решение: используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Точка  получается при , точка  - при , поэтому

Если нормали выбирались в точках , то пусть  - их направляющие косинусы. Согласно сказанному выше, площадь “панциря” есть . Эта сумма является интегральной суммой для двойного интеграла . Как установлено в §1, , поэтому .

Если поверхность задана параметрически, то, как указывалось в §1, в окрестности любой ее точки ее возможно задать явным уравнением ( или  или ).

Предположим, что поверхность, заданная параметрически, представляет собой конечное объединение частей, каждая из которых задана явным уравнением и рассмотрим одну из частей, для которой . Тогда площадь этой части, по доказанному выше, равна . Перейдем в этом интеграле к переменным , учитывая, что якобиан перехода – это как раз определитель , а , и пусть области  соответствует область  на плоскости . Тогда по теореме о замене переменных  .


На главную