Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Площадь плоской области.

 Декартовы координаты. Геометрический смысл определённого интеграла: если  на отрезке , то  равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией . Следствие: если фигура ограничена сверху кривой , снизу - кривой , слева и справа - отрезками прямых  и , то её площадь равна . Пример: Найти площадь области , ограниченной кривыми при условии, что  (дальше мы будем писать так: ).

При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых, уравнение  имеет два корня:  и ;

Подходящий корень - . Область ограничена сверху параболой, снизу - прямой, справа - прямой , крайняя левая точка - , поэтому   Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части .

Теорема 1. Пусть  - односвязная область, . Условие, что   равносильно тому, что всюду в этой области .

Доказательство.

. Если всюду в  выполнено равенство , то  по формуле Грина .

. Предположим, что в области  есть точка , в которой . Пусть, для определенности, .

Тогда существует окрестность точки , в которой значения  больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность  радиуса  и рассмотрим .

По формуле Грина . Это противоречит предположению о том, что  должен быть равен 0.

Приложения определенного интеграл.

Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем. В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.

Кардиоида .


На главную