Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Пример: исследовать на сходимость интеграл .

Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.

 Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:

. ; интеграл от большей функции сходится, следовательно,  сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

. , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

 Приведённые примеры показывают, что переход от  к  и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется.

Определение. Пусть  - область, ,  - контур. Будем говорить, что  не зависит от формы пути в , если  - контуров с началом в точке  и концом в точке ,  .

 

Следствие. Пусть  - односвязная область.  не зависит в  от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется тождество .

Связь с вопросом о полном дифференциале

Если  - дифференцируемая функция двух переменных, то . Выясним, при каких условиях на  существует такая функция , что , т.е. . В предположении непрерывности смешанных производных:  или . Докажем, что если  - односвязная область, то верно и обратное.

Теорема 3. Если  в односвязной области , то существует  такая, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку  и рассмотрим переменную точку  и любую кривую , соединяющую  с .

По следствию теоремы 2,  зависит только от конечной точки  и, значит, есть некоторая функция . Покажем, что  - искомая функция, т.е. . Для этого рассмотрим точку  и рассмотрим , где  - отрезок прямой, соединяющей точки . На этом отрезке  и . Применяя теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности ), что  , где . Тогда . . Для  доказательство аналогичное.

Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что   расходится. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).

Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.

Особенность на правом конце промежутка интегрирования

Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:  - расходится, так как первообразная  обращается в бесконечность в точке x = -1. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку


На главную