Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля

Скалярное и векторное поле

Определение. Скалярное поле на области  () представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения  при заданных значениях .

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.

Векторное поле  на области  (или ) – это вектор, координаты которого  являются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля

Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезка  определяется аналогично и для . Напоминаем: величина  отрезка  представляет собой его длину со знаком “+”, если векторы  и  одинаково направлены и длину со знаком “-”, если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор  задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости  в т.  легко вывести формулу:

, где  - градиент скалярного поля  в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к.  - единичный вектор.

Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение  по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора  определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.

Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.

Соленоидальное поле Определение.  - соленоидальное поле, если .

Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным


На главную