Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

 Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу. Разобьём D на малые подобласти D1, D2, D3, …, Dn, в каждой из подобластей Di выберем произвольную точку Pi, и, считая что в пределах Di плотность постоянна и равна , получим, что масса Di приближённо есть , а масса всей пластины . Это - интегральная сумма, при уменьшении   точность приближения увеличивается, и в пределе .

 Аналогично находятся другие параметры пластины:

координаты центра тяжести , ;

моменты инерции  (относительно оси Ox),  (относительно оси Oy),  (относительно начала координат).

 Пример: найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми  если плотность .

 Решение.

   (что и следовало ожидать, так как область и плотность симметричны относительно оси Оу).

.

. .

Поверхностные интегралы 2-го типа

Пусть  двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть  обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина  называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля  по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .


На главную