Контрольная по математике Конспекты Аналитическая геометрия Математика в экономических расчетах Вычисление пределов Векторный анализ

Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

 Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

.

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром x2 + y2 = 2ax из сферы x2 + y2 + z2 = 4a2 .

Решение. На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности   вычисляем производные   и . Область D - сдвинутый на а единиц по оси Ох круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей Оху и Охz:  .

Нарушение этой формулы в единственной точке  не повлияет на результат, поэтому , где  - проекция  на плоскость , т.е.  - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам:  ( - якобиан преобразования) .

Основание  задано уравнением , поэтому   и  (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .


На главную