Примеры решения задач курсовых и контрольных работ по математике

Решения задач функции комплексного переменного

• Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
• Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда., ;
• Комплексные числа.
• Элементарные функции комплексного переменного
• Степенная функция
• Примеры вычисления производных
• Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
• Интегрирование функций комплексной переменной.
• Интегральная формула Коши. Пусть w = f(z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D1, которую она ограничивает.
• Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 функцию
• Примеры разложения функций в ряд Лорана. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .
• Нули аналитической функции.
• Вычисление вычетов
• Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Примеры решения задач на вычисление интегралов

• Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Скалярное и векторное поле
• Неопределённый интеграл. Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .
• Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).
• Вычисление определенного интеграла Пример Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:
• Приложения определенного интеграла Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .
• Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной.
• Интегрирование рациональных функций.
• Тригонометрические подстановки для интегралов вида .
• Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость
• Площадь плоской области.
• Декартовы координаты. Геометрический смысл определённого интеграла Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

Объёмы тел вращения.

• Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений .
• Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси   дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

• Двойной интеграл. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).
• Геометрический смысл двойного интеграла
• Вычисление двойного интеграла.
• Двойной интеграл в полярных координатах
• Задачи на двойной интеграл
• Приложения двойного интеграла. Вычисление площадей плоских областей.
• Вычисление объёмов Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f1(x,y), z = f2(x,y), , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.
• Вычисление площади поверхности
• Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и .