|
Решения задач функции комплексного переменногоПримеры
решения задач на вычисление интегралов
- Приложения
кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Скалярное и векторное поле
- Неопределённый
интеграл. Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной для
функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке
этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е.
. - Замена
переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).
- Вычисление
определенного интеграла Пример Вычислить интеграл
. Решение. Для того, чтобы вычислить данный
интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой: - Приложения
определенного интеграла Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример . Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями:
. - Интегрирование
по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной.
- Интегрирование
рациональных функций.
- Тригонометрические
подстановки для интегралов вида
.
- Примеры исследования
интегралов на абсолютную сходимость
- Площадь
плоской области.
- Декартовы
координаты. Геометрический смысл определённого интеграла Найти площадь, ограниченную
лемнискатой
.
Объёмы
тел вращения. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. - Двойной
интеграл. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла.
Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой
границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).
- Геометрический
смысл двойного интеграла
- Вычисление
двойного интеграла.
- Двойной
интеграл в полярных координатах
- Задачи
на двойной интеграл
- Приложения
двойного интеграла. Вычисление площадей плоских областей.
- Вычисление
объёмов Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f1(x,y),
z = f2(x,y),
, с боков - цилиндрической
поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического
смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную
плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми. - Вычисление
площади поверхности
- Механические
приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская
пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной
. В механике определяется так. Точка Р окружается малой
областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать
буквой S), и .
|